Para resolver a equação diferencial \( y' + 2y = e^{-x} \), vamos usar o método do fator integrante. 1. Identificar o fator integrante: A equação está na forma padrão \( y' + P(x)y = Q(x) \), onde \( P(x) = 2 \) e \( Q(x) = e^{-x} \). O fator integrante \( \mu(x) \) é dado por: \[ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int 2 \, dx} = e^{2x} \] 2. Multiplicar a equação pela fator integrante: \[ e^{2x}y' + 2e^{2x}y = e^{2x}e^{-x} \] Simplificando, temos: \[ e^{2x}y' + 2e^{2x}y = e^{x} \] 3. Reescrever a equação: A equação à esquerda é a derivada do produto: \[ \frac{d}{dx}(e^{2x}y) = e^{x} \] 4. Integrar ambos os lados: \[ e^{2x}y = \int e^{x} \, dx = e^{x} + C \] 5. Isolar \( y \): \[ y = e^{-2x}(e^{x} + C) = Ce^{-2x} + \frac{1}{e^{x}} = Ce^{-2x} + e^{-x} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3} e^{-x} \) b) \( y = Ce^{2x} + e^{-x} \) c) \( y = Ce^{-x} + \frac{1}{2} e^{2x} \) d) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{2} e^{-x} \) A alternativa correta, que se aproxima da solução encontrada, é a) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3} e^{-x} \), mas a parte \( \frac{1}{3} e^{-x} \) não é correta. Portanto, a resposta correta não está entre as opções dadas. Você pode verificar se há um erro nas alternativas ou se a questão foi formulada corretamente.