Determine a primeira e segunda derivadas de $ f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x $.

a) $ f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4 $
b) $ f'(x) = 4x^3 - 8x^2 + 6x - 4 $
c) $ f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 6x - 4 $
d) $ f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x $

Question

Determine a primeira e segunda derivadas de $ f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x $.

a) $ f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4 $
b) \( f'(x) = 4x^3 - 8x^2...

Ed · Answer

Vamos calcular a primeira derivada da função $ f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x $.

1. **Derivando cada termo:**
   - A derivada de $ x^4 $ é $ 4x^3 $.
   - A derivada de $ -4x^3 $ é $ -12x^2 $.
   - A derivada de $ 6x^2 $ é $ 12x $.
   - A derivada de $ -4x $ é $ -4 $.

2. **Somando as derivadas:**
   $$
   f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4
   $$

Agora, vamos analisar as alternativas:

a) $ f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4 $ - **Correta!**

b) $ f'(x) = 4x^3 - 8x^2 + 6x - 4 $ - Incorreta.

c) $ f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 6x - 4 $ - Incorreta.

d) $ f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x $ - Incorreta (falta o termo constante).

Portanto, a alternativa correta é: **a)** $ f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4 $.

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Resolva a equação \( y' + 2y = e^{-x} \).

a) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3} e^{-x} \)
b) \( y = Ce^{2x} + e^{-x} \)
c) \( y = Ce^{-x} + \frac{1}{2} e^{2x} \)
d) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{2} e^{-x} \)

Resolva a equação \( y' = \frac{y}{x} + x \).

a) \( y = Cx + \frac{x^2}{2} \)
b) \( y = Cx^2 + \frac{x^2}{2} \)
c) \( y = Cx + \frac{y^2}{2} \)
d) \( y = C + \frac{x^2}{2} \)

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Resolva a equação \( y' = \frac{y}{x} + x \).a) \( y = Cx + \frac{x^2}{2} \)b) \( y = Cx^2 + \frac{x^2}{2} \)c) \( y = Cx + \frac{y^2}{2} \)d) \( y = C + \frac{x^2}{2} \)

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Resolva a equação \( y' = \frac{y}{x} + x \).

a) \( y = Cx + \frac{x^2}{2} \)
b) \( y = Cx^2 + \frac{x^2}{2} \)
c) \( y = Cx + \frac{y^2}{2} \)
d) \( y = C + \frac{x^2}{2} \)