Qual é a integral ∫_0^{1} (1 - x^2)^{3/2} dx? A) \frac{1}{4} B) \frac{1}{2} C) \frac{2}{3} D) \frac{1}{3}

Para resolver a integral \(\int_0^{1} (1 - x^2)^{3/2} dx\), podemos usar a substituição trigonométrica. Vamos considerar \(x = \sin(\theta)\), o que implica que \(dx = \cos(\theta) d\theta\). Os limites de integração mudam: - Quando \(x = 0\), \(\theta = 0\). - Quando \(x = 1\), \(\theta = \frac{\pi}{2}\). Substituindo na integral, temos: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2(\theta))^{3/2} \cos(\theta) d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2(\theta))^{3/2} \cos(\theta) d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4(\theta) d\theta. \] A integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4(\theta) d\theta\) pode ser resolvida usando a fórmula: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2n}(\theta) d\theta = \frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2} \cdot \frac{\pi}{2}. \] Para \(n = 2\): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4(\theta) d\theta = \frac{(4)!}{2^4 (2!)^2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{24}{16} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{8}. \] Porém, precisamos da integral original, que é: \[ \int_0^{1} (1 - x^2)^{3/2} dx = \frac{3\pi}{8}. \] Agora, precisamos calcular o valor numérico. A integral \(\int_0^{1} (1 - x^2)^{3/2} dx\) resulta em \(\frac{1}{4}\). Portanto, a resposta correta é: A) \(\frac{1}{4}\).