Para resolver essa questão, vamos usar a fórmula do volume do cone e aplicar a regra da cadeia. 1. Fórmula do volume do cone: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] onde \( r = 10 \ln x \) e \( h = 50 \) cm. 2. Substituindo \( r \): \[ V = \frac{1}{3} \pi (10 \ln x)^2 \cdot 50 \] \[ V = \frac{500}{3} \pi (10 \ln x)^2 \] 3. Derivando em relação ao tempo \( t \): Usamos a regra da cadeia: \[ \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} \] 4. Calculando \( \frac{dV}{dx} \): \[ \frac{dV}{dx} = \frac{500}{3} \pi \cdot 2(10 \ln x) \cdot \frac{10}{x} = \frac{10000}{3} \pi \cdot \frac{\ln x}{x} \] 5. Substituindo \( x = e \): \[ \ln e = 1 \quad \text{e} \quad x = e \Rightarrow \frac{dV}{dx} = \frac{10000}{3} \pi \cdot \frac{1}{e} \] 6. Sabendo que \( \frac{dx}{dt} = 3e \) cm/s: \[ \frac{dV}{dt} = \frac{10000}{3} \pi \cdot \frac{1}{e} \cdot 3e \] \[ \frac{dV}{dt} = 10000 \pi \text{ cm}^3/\text{s} \] Portanto, a taxa de variação do volume do cone por segundo, quando \( x = e \), é \( 10000 \pi \) cm³/s.