Calcule lim ℎ→0 (????(????+ℎ) − ????(????))/ℎ sendo ???? dada por a) ????(????) = ????²(2????)

Para calcular o limite \( \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \) onde \( f(x) = x^2(2x) \), vamos seguir os passos: 1. Definir a função: \[ f(x) = x^2(2x) = 2x^3 \] 2. Substituir \( f(a+h) \) e \( f(a) \): \[ f(a+h) = 2(a+h)^3 \] \[ f(a) = 2a^3 \] 3. Calcular \( f(a+h) - f(a) \): \[ f(a+h) - f(a) = 2(a+h)^3 - 2a^3 \] 4. Expandir \( (a+h)^3 \): \[ (a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3 \] Portanto, \[ f(a+h) - f(a) = 2(a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3) - 2a^3 = 6a^2h + 6ah^2 + 2h^3 \] 5. Dividir por \( h \): \[ \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{6a^2h + 6ah^2 + 2h^3}{h} = 6a^2 + 6ah + 2h^2 \] 6. Calcular o limite quando \( h \to 0 \): \[ \lim_{h \to 0} (6a^2 + 6ah + 2h^2) = 6a^2 \] Portanto, o resultado é: \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = 6a^2 \]