Calcule lim ℎ→0 (????(????+ℎ) − ????(????))/ℎ sendo ???? dada por e) ????(????) = 1/????(−1/????²)

Para calcular o limite \( \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \) onde \( f(x) = \frac{1}{e^{-1/x^2}} \), vamos primeiro simplificar a função. 1. Identifique a função: \[ f(x) = e^{1/x^2} \] 2. Substitua na expressão do limite: \[ \lim_{h \to 0} \frac{e^{1/(x+h)^2} - e^{1/x^2}}{h} \] 3. Utilize a regra de L'Hôpital: Como a forma é indeterminada \( \frac{0}{0} \), podemos aplicar a regra de L'Hôpital. Derivamos o numerador e o denominador. 4. Derivada do numerador: \[ \frac{d}{dh} \left( e^{1/(x+h)^2} \right) = e^{1/(x+h)^2} \cdot \frac{d}{dh} \left( \frac{1}{(x+h)^2} \right) \] A derivada de \( \frac{1}{(x+h)^2} \) é: \[ -\frac{2}{(x+h)^3} \] Portanto: \[ \frac{d}{dh} \left( e^{1/(x+h)^2} \right) = -2 e^{1/(x+h)^2} \cdot \frac{1}{(x+h)^3} \] 5. Derivada do denominador: A derivada de \( h \) é \( 1 \). 6. Aplicando a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{h \to 0} -2 e^{1/(x+h)^2} \cdot \frac{1}{(x+h)^3} \] 7. Substituindo \( h = 0 \): \[ = -2 e^{1/x^2} \cdot \frac{1}{x^3} \] Portanto, o resultado do limite é: \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = -\frac{2 e^{1/x^2}}{x^3} \]