Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado: a) ????(????) = {????³ − 8 / ???? − 2 se ???? ≠ 2, ???? se ???? = 2 em ???? = 2 (12)

Para que a função \( f(x) \) seja contínua em \( x = 2 \), precisamos que o limite da função quando \( x \) se aproxima de 2 seja igual ao valor da função em \( x = 2 \). A função é dada por: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - 8}{x - 2} & \text{se } x \neq 2 \\ L & \text{se } x = 2 \end{cases} \] Primeiro, vamos calcular o limite quando \( x \) se aproxima de 2: \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2} \] Podemos fatorar \( x^3 - 8 \) como \( (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \): \[ \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} \] Cancelando \( x - 2 \): \[ \lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4) = 2^2 + 2(2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 \] Para que a função seja contínua em \( x = 2 \), devemos ter: \[ L = 12 \] Portanto, o valor de \( L \) que torna a função contínua em \( x = 2 \) é \( L = 12 \).