37QMO logica

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**Resposta:** a) \(\frac{1}{1 + x^2}\) 
 **Explicação:** A derivada da função arco tangente é bem conhecida. 
 
88. **Calcule a integral:** 
 \(\int (3x^2 - 4x + 1) \, dx\) 
 a) \(x^3 - 2x^2 + x + C\) 
 b) \(x^3 - 2x^2 + C\) 
 c) \(x^3 - 4x^2 + x + C\) 
 d) \(x^3 - 4x^2 + C\) 
 **Resposta:** a) \(x^3 - 2x^2 + x + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(3x^2\) é \(x^3\), de \(-4x\) é \(-2x^2\) e de \(1\) é \(x\), 
adicionando a constante \(C\). 
 
89. **Determine o valor de \(c\) tal que a função \(f(x) = x^3 - 3cx + 2\) tenha uma raiz 
dupla.** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** Para ter uma raiz dupla, \(f'(x)\) deve ser zero na raiz. Isso leva a \(c = 2\). 
 
90. **Calcule a série de Taylor de \(f(x) = \cos(x)\) em torno de \(x = 0\) até o termo de 
\(x^4\).** 
 a) \(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\) 
 b) \(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{12}\) 
 c) \(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{6}\) 
 d) \(1 - \frac{x^2}{3} + \frac{x^4}{24}\) 
 **Resposta:** a) \(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\) 
 **Explicação:** A série de Taylor para \(\cos(x)\) é dada por \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-
1)^n x^{2n}}{(2n)!}\). 
 
91. **Qual é o resultado da integral imprópria:** 
 \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx\) 
 a) 1 
 b) 2 
 c) \(\infty\) 
 d) 0 
 **Resposta:** a) 1 
 **Explicação:** A integral converge para \(\lim_{b \to \infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b} 
= 0 + 1 = 1\). 
 
92. **Qual é a equação da reta tangente à curva \(y = x^2\) no ponto (2,4)?** 
 a) \(y = 4x - 4\) 
 b) \(y = 2x - 4\) 
 c) \(y = 4x - 8\) 
 d) \(y = 2x + 0\) 
 **Resposta:** a) \(y = 4x - 4\) 
 **Explicação:** A derivada \(f'(x) = 2x\) em \(x = 2\) é 4. Usando a fórmula da tangente, 
\(y - 4 = 4(x - 2)\). 
 
93. **Qual é o valor de \( \frac{d^2}{dx^2} (x^3 - 6x^2 + 9x) \) em \(x = 1\)?** 
 a) 0 
 b) -6 
 c) 6 
 d) 3 
 **Resposta:** b) -6 
 **Explicação:** A primeira derivada é \(3x^2 - 12x + 9\) e a segunda derivada é \(6x - 
12\). Avaliando em \(x = 1\) dá \(-6\). 
 
94. **Calcule o limite:** 
 \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}\) 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 4 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental, onde \(k = 2\). 
 
95. **Determine a integral indefinida:** 
 \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\) 
 a) \(\ln(\ln(x)) + C\) 
 b) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\) 
 c) \(\ln(x) + C\) 
 d) \(\frac{1}{x} + C\) 
 **Resposta:** a) \(\ln(\ln(x)) + C\) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \(u = \ln(x)\), levando a \(\int \frac{1}{u} \, du\). 
 
96. **Qual é a equação da reta normal à curva \(y = x^2\) no ponto (1,1)?** 
 a) \(y = -2x + 3\) 
 b) \(y = 2x - 1\) 
 c) \(y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\) 
 d) \(y = 2x + 1\) 
 **Resposta:** a) \(y = -2x + 3\) 
 **Explicação:** A derivada em \(x = 1\) é \(2\), então a inclinação da normal é \(-
\frac{1}{2}\). Usando a fórmula da reta, temos \(y - 1 = -2(x - 1)\). 
 
97. **Qual é a integral de \(\int \sin^2(x) \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C\) 
 b) \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C\) 
 c) \(\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}\sin(2x) + C\) 
 d) \(\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\sin(2x) + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C\) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\).