Vamos analisar a função dada: \( f(x) = x^2 + 2\lambda x + 1 \). Essa é uma função quadrática, e podemos reescrevê-la na forma canônica para entender melhor seu comportamento. A forma canônica é dada por: \[ f(x) = a(x - h)^2 + k \] onde \( h \) e \( k \) são as coordenadas do vértice da parábola. Para a função \( f(x) \): 1. O coeficiente \( a = 1 \) (positivo), então a parábola abre para cima. 2. O vértice pode ser encontrado usando \( h = -\frac{b}{2a} = -\frac{2\lambda}{2} = -\lambda \). Substituindo \( h \) na função para encontrar \( k \): \[ f(-\lambda) = (-\lambda)^2 + 2\lambda(-\lambda) + 1 = \lambda^2 - 2\lambda^2 + 1 = -\lambda^2 + 1 \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) Para \( \lambda < 0 \), a função só assume valores negativos. FALSO, pois a função pode ter valores positivos. b) Para \( \lambda > 1 \), a função só assume valores positivos. FALSO, pois o vértice pode ser negativo. c) Para \( \lambda < 0 \), a função só assume valores positivos. FALSO, pois o vértice pode ser positivo ou negativo. d) Para \( \lambda > 1 \), a função só assume valores negativos. FALSO, pois a função é positiva para valores altos de \( x \). e) Para \( 0 \leq \lambda < 1 \), a função só assume valores positivos. VERDADEIRO, pois o vértice é positivo e a parábola abre para cima. Portanto, a alternativa correta é: e) Para \( 0 \leq \lambda < 1 \) a função só assume valores positivos.