49. (EEAr – 2012) Seja a função ????: ℝ → ℝ, definida por ????(????) = 1/(1+????²), o conjunto imagem de “????” contém o elemento: A) 0 B) 2 C) 1/2 D) −1

Para determinar o conjunto imagem da função \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \), precisamos analisar os valores que \( f(x) \) pode assumir. 1. Análise da função: A função \( f(x) \) é sempre positiva, pois o denominador \( 1 + x^2 \) é sempre maior que zero para todo \( x \in \mathbb{R} \). 2. Limites: - Quando \( x \to \infty \) ou \( x \to -\infty \), \( f(x) \to 0 \). - Quando \( x = 0 \), \( f(0) = \frac{1}{1+0^2} = 1 \). 3. Comportamento da função: A função é decrescente, pois à medida que \( |x| \) aumenta, \( f(x) \) diminui. Portanto, o valor máximo é 1 (quando \( x = 0 \)) e o valor mínimo se aproxima de 0, mas nunca atinge. 4. Conjunto imagem: Assim, o conjunto imagem de \( f(x) \) é \( (0, 1] \). Agora, analisando as alternativas: A) 0 - Não está no conjunto imagem. B) 2 - Não está no conjunto imagem. C) 1/2 - Está no conjunto imagem. D) −1 - Não está no conjunto imagem. Portanto, a alternativa correta é: C) 1/2.