Problema 9: Encontre a raiz quadrada do número complexo z = 3 + 4i. Agora, escolha a alternativa CORRETA: a) 2 + i b) 1 + 2i c) 2 - i d) -2 + i

Para encontrar a raiz quadrada do número complexo \( z = 3 + 4i \), podemos usar a forma polar ou tentar encontrar diretamente. Vamos considerar a forma \( z = x + yi \) e igualar: \[ (x + yi)^2 = 3 + 4i \] Expandindo, temos: \[ x^2 - y^2 + 2xyi = 3 + 4i \] Isso nos dá duas equações: 1. \( x^2 - y^2 = 3 \) 2. \( 2xy = 4 \) (ou seja, \( xy = 2 \)) Agora, da segunda equação, podemos expressar \( y \) em termos de \( x \): \[ y = \frac{2}{x} \] Substituindo na primeira equação: \[ x^2 - \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 3 \] Multiplicando tudo por \( x^2 \) para eliminar a fração: \[ x^4 - 4 = 3x^2 \] Rearranjando: \[ x^4 - 3x^2 - 4 = 0 \] Seja \( u = x^2 \), então temos: \[ u^2 - 3u - 4 = 0 \] Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ u = \frac{3 \pm \sqrt{(3)^2 + 4 \cdot 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \] Isso nos dá: \[ u_1 = 4 \quad \text{e} \quad u_2 = -1 \] Como \( u = x^2 \), descartamos \( u_2 \) (pois não pode ser negativo) e temos \( x^2 = 4 \), então \( x = 2 \) ou \( x = -2 \). Substituindo \( x = 2 \) na equação \( y = \frac{2}{x} \): \[ y = \frac{2}{2} = 1 \] Assim, uma raiz quadrada é \( 2 + i \). Verificando a outra possibilidade, \( x = -2 \): \[ y = \frac{2}{-2} = -1 \] A outra raiz quadrada é \( -2 - i \), mas não está nas opções. Portanto, a alternativa correta é: a) 2 + i.