Qual dos vetores abaixo é uma combinação linear dos vetores v1=(1,2,0) e v2=(−1,2,0). a. (1,6,0). b. (1,1,2). c. (1,5,6). d. (0,3,0). e. (2,0,1).

Para determinar qual vetor é uma combinação linear dos vetores \( v_1 = (1, 2, 0) \) e \( v_2 = (-1, 2, 0) \), precisamos encontrar coeficientes \( a \) e \( b \) tais que: \[ a \cdot v_1 + b \cdot v_2 = (x, y, z) \] Vamos analisar cada alternativa: 1. a. (1, 6, 0): \[ a(1, 2, 0) + b(-1, 2, 0) = (1, 6, 0) \] Isso resulta em: \[ (a - b, 2a + 2b, 0) = (1, 6, 0) \] Portanto, temos: \[ a - b = 1 \quad \text{(1)} \] \[ 2a + 2b = 6 \quad \text{(2)} \] Da (2), dividindo por 2: \[ a + b = 3 \quad \text{(3)} \] Resolvendo (1) e (3): \[ a - b = 1 \] \[ a + b = 3 \] Somando as duas: \[ 2a = 4 \Rightarrow a = 2 \] Substituindo \( a \) na (3): \[ 2 + b = 3 \Rightarrow b = 1 \] Portanto, (1, 6, 0) é uma combinação linear. 2. b. (1, 1, 2): \[ a(1, 2, 0) + b(-1, 2, 0) = (1, 1, 2) \] Isso resulta em: \[ (a - b, 2a + 2b, 0) = (1, 1, 2) \] O terceiro componente não pode ser 2, pois sempre será 0. Portanto, não é uma combinação linear. 3. c. (1, 5, 6): O mesmo raciocínio do item anterior se aplica. O terceiro componente não pode ser 6. Portanto, não é uma combinação linear. 4. d. (0, 3, 0): \[ a(1, 2, 0) + b(-1, 2, 0) = (0, 3, 0) \] Isso resulta em: \[ (a - b, 2a + 2b, 0) = (0, 3, 0) \] Portanto: \[ a - b = 0 \quad \text{(4)} \] \[ 2a + 2b = 3 \quad \text{(5)} \] Da (5), dividindo por 2: \[ a + b = 1.5 \quad \text{(6)} \] Resolvendo (4) e (6): \[ a = b \quad \text{(4)} \] Substituindo na (6): \[ 2a = 1.5 \Rightarrow a = 0.75, b = 0.75 \] Portanto, (0, 3, 0) é uma combinação linear. 5. e. (2, 0, 1): O terceiro componente não pode ser 1. Portanto, não é uma combinação linear. Após a análise, as alternativas que são combinações lineares dos vetores \( v_1 \) e \( v_2 \) são a) (1, 6, 0) e d) (0, 3, 0). Se você precisa de apenas uma resposta, a) (1, 6, 0) é a primeira correta.