Para resolver essa questão, vamos analisar o que foi feito pelo estudante e como corrigir a contagem. O estudante escolheu 1 professor (3 maneiras) e, em seguida, escolheu 4 pessoas entre os 10 restantes (8 estudantes + 2 professores). A expressão que ele usou foi \(3 \cdot \binom{10}{4}\). No entanto, precisamos subtrair as comissões que não têm pelo menos um professor. Para isso, vamos considerar as comissões formadas apenas por estudantes. 1. Se formarmos uma comissão de 5 pessoas apenas com estudantes, temos que escolher 5 entre os 8 estudantes, o que é dado por \(\binom{8}{5}\). 2. Agora, precisamos considerar as comissões que têm exatamente 1 professor e 4 estudantes, que é \(3 \cdot \binom{8}{4}\). 3. Para 2 professores e 3 estudantes, temos \( \binom{3}{2} \cdot \binom{8}{3} \). 4. Para 3 professores e 2 estudantes, temos \( \binom{3}{3} \cdot \binom{8}{2} \). Agora, somando as comissões que não têm professores, temos: - Para 5 estudantes: \(\binom{8}{5}\) - Para 4 estudantes: \(3 \cdot \binom{8}{4}\) - Para 3 estudantes: \(3 \cdot \binom{8}{3}\) Assim, a expressão que devemos subtrair do resultado apresentado pelo estudante é: - \(3 \cdot \binom{8}{2} + 2 \cdot \binom{8}{3}\). Portanto, a alternativa correta é: (C) 3 ∙ \(\binom{8}{2}\) + 2 ∙ \(\binom{8}{3}\).