Para resolver a integral \( \int e^{3x} \sin(2e^{3x}) \, dx \), podemos usar a técnica de integração por partes ou uma substituição. Vamos considerar a substituição \( u = e^{3x} \), o que implica que \( du = 3e^{3x} \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{3u} \). Substituindo na integral, temos: \[ \int e^{3x} \sin(2e^{3x}) \, dx = \int \sin(2u) \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \sin(2u) \, du \] A integral de \( \sin(2u) \) é: \[ -\frac{1}{2} \cos(2u) + C \] Portanto, substituindo de volta \( u = e^{3x} \): \[ \frac{1}{3} \left(-\frac{1}{2} \cos(2e^{3x})\right) + C = -\frac{1}{6} \cos(2e^{3x}) + C \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde exatamente a essa forma, mas a alternativa que mais se aproxima e que pode ser uma forma equivalente é: A) \( \frac{1}{3} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C \) Entretanto, a resposta correta para a integral dada não está entre as opções. Você pode verificar se há algum erro nas alternativas ou se a integral foi formulada corretamente.