Resolva a integral \( \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sin(x)} \, dx \). Resposta: \( \infty \)

A integral \( \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sin(x)} \, dx \) realmente diverge. Para entender por que, observe que \( \frac{1}{\sin(x)} \) se torna muito grande quando \( x \) se aproxima de 0, pois \( \sin(x) \) se aproxima de 0. Podemos analisar a integral: \[ \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sin(x)} \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \csc(x) \, dx \] A função \( \csc(x) \) tem uma singularidade em \( x = 0 \). Para verificar a divergência, podemos calcular o limite: \[ \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\epsilon}^{\pi/2} \csc(x) \, dx \] A integral diverge, resultando em \( \infty \). Portanto, a resposta correta é: \[ \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sin(x)} \, dx = \infty \]