Vamos resolver cada item da questão passo a passo. ### a) Cálculo do custo para 8 e 20 peças A função de custo é dada por: \[ C(x) = 2x^3 - 66x^2 + 432x + 3000 \] Para \( x = 8 \): \[ C(8) = 2(8)^3 - 66(8)^2 + 432(8) + 3000 \] \[ C(8) = 2(512) - 66(64) + 3456 + 3000 \] \[ C(8) = 1024 - 4224 + 3456 + 3000 \] \[ C(8) = 1024 - 4224 + 6456 \] \[ C(8) = 2256 \] Para \( x = 20 \): \[ C(20) = 2(20)^3 - 66(20)^2 + 432(20) + 3000 \] \[ C(20) = 2(8000) - 66(400) + 8640 + 3000 \] \[ C(20) = 16000 - 26400 + 8640 + 3000 \] \[ C(20) = 16000 - 26400 + 11640 \] \[ C(20) = 4240 \] ### b) Determinação dos pontos críticos Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a primeira derivada \( C'(x) \) e igualá-la a zero. \[ C'(x) = 6x^2 - 132x + 432 \] Igualando a zero: \[ 6x^2 - 132x + 432 = 0 \] Dividindo por 6: \[ x^2 - 22x + 72 = 0 \] Usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{22 \pm \sqrt{(-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 288}}{2} \] \[ x = \frac{22 \pm \sqrt{196}}{2} \] \[ x = \frac{22 \pm 14}{2} \] Assim, temos: \[ x_1 = \frac{36}{2} = 18 \] \[ x_2 = \frac{8}{2} = 4 \] Os pontos críticos são \( x = 4 \) e \( x = 18 \). ### c) Verificação pela regra da derivada segunda Agora, vamos calcular a segunda derivada \( C''(x) \): \[ C''(x) = 12x - 132 \] Para \( x = 4 \): \[ C''(4) = 12(4) - 132 = 48 - 132 = -84 \] (máximo) Para \( x = 18 \): \[ C''(18) = 12(18) - 132 = 216 - 132 = 84 \] (mínimo) ### d) Identificação do ponto de inflexão Para encontrar o ponto de inflexão, precisamos igualar a segunda derivada a zero: \[ 12x - 132 = 0 \] \[ 12x = 132 \] \[ x = 11 \] Justificativa: O ponto \( x = 11 \) é um ponto de inflexão porque a concavidade da função muda ao passar por esse ponto, o que pode ser verificado pela mudança de sinal da segunda derivada. ### Resumo das respostas: - a) Custo para 8 peças: R$ 2256; para 20 peças: R$ 4240. - b) Pontos críticos: \( x = 4 \) (máximo) e \( x = 18 \) (mínimo). - c) \( C''(4) < 0 \) (máximo); \( C''(18) > 0 \) (mínimo). - d) Ponto de inflexão em \( x = 11 \).