Para determinar a área total da região onde a poluição excede o nível aceitável no intervalo de \( x = -4 \) a \( x = 2 \), precisamos seguir alguns passos: 1. Identificar as funções: - \( f(x) = x + 6 \) (poluição por fontes móveis) - \( g(x) = x^3 \) (poluição por fontes fixas) - \( h(x) = -1 \) (nível de poluição aceitável) 2. Encontrar os pontos de interseção: Precisamos resolver as equações \( f(x) = h(x) \) e \( g(x) = h(x) \) para encontrar os pontos onde a poluição excede o nível aceitável. - Para \( f(x) = h(x) \): \[ x + 6 = -1 \implies x = -7 \quad (\text{fora do intervalo}) \] - Para \( g(x) = h(x) \): \[ x^3 = -1 \implies x = -1 \] 3. Analisar o comportamento das funções: - No intervalo \( x = -4 \) a \( x = -1 \): - \( f(-4) = -4 + 6 = 2 \) (acima de -1) - \( g(-4) = (-4)^3 = -64 \) (abaixo de -1) - No intervalo \( x = -1 \) a \( x = 2 \): - \( f(-1) = -1 + 6 = 5 \) (acima de -1) - \( g(-1) = (-1)^3 = -1 \) (igual a -1) - \( f(2) = 2 + 6 = 8 \) (acima de -1) - \( g(2) = 2^3 = 8 \) (acima de -1) 4. Definir os limites de integração: - A área entre \( f(x) \) e \( h(x) \) de \( x = -4 \) a \( x = -1 \). - A área entre \( g(x) \) e \( h(x) \) de \( x = -1 \) a \( x = 2 \). 5. Calcular as áreas: - Área entre \( f(x) \) e \( h(x) \): \[ A_1 = \int_{-4}^{-1} (f(x) - h(x)) \, dx = \int_{-4}^{-1} ((x + 6) - (-1)) \, dx = \int_{-4}^{-1} (x + 7) \, dx \] \[ A_1 = \left[ \frac{x^2}{2} + 7x \right]_{-4}^{-1} = \left( \frac{(-1)^2}{2} + 7(-1) \right) - \left( \frac{(-4)^2}{2} + 7(-4) \right) \] \[ = \left( \frac{1}{2} - 7 \right) - \left( 8 - 28 \right) = \left( -6.5 \right) - (-20) = 13.5 \] - Área entre \( g(x) \) e \( h(x) \): \[ A_2 = \int_{-1}^{2} (g(x) - h(x)) \, dx = \int_{-1}^{2} (x^3 - (-1)) \, dx = \int_{-1}^{2} (x^3 + 1) \, dx \] \[ A_2 = \left[ \frac{x^4}{4} + x \right]_{-1}^{2} = \left( \frac{2^4}{4} + 2 \right) - \left( \frac{(-1)^4}{4} - 1 \right) \] \[ = \left( 4 + 2 \right) - \left( \frac{1}{4} - 1 \right) = 6 - \left( \frac{1}{4} - 1 \right) = 6 - \left( -\frac{3}{4} \right) = 6 + \frac{3}{4} = 6.75 \] 6. Área total: \[ A_{total} = A_1 + A_2 = 13.5 + 6.75 = 20.25 \] Portanto, a área total da região onde a poluição excede o nível aceitável no intervalo de \( x = -4 \) a \( x = 2 \) é \( 20.25 \) unidades quadradas.