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Exercício 1. Determine a imagem da reta indicada sob o mapeamento f(z) = z2. (a) y = 2 (b) x = 0 (c) y = x

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Cálculo 5: Funções Complexas

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Exercício 2. Expresse a função indicada na forma f(z) = u+ iv.

a) f(z) = 7z − 9iz̄ − 3 + 2i
b) f(z) = 3z̄2 + 2z
c) f(z) = z3 − 4z

Exercício 3. Calcule a função dada nos pontos indicados.

a) f(z) = (x+ 1 + 1/x) + i(4x2 − 2y2 − 4)
(i) 1 + i
(ii) 2− i
(iii) 1 + 4i
b) f(z) = ez
(i) πi/4
(ii) −1− πi
(iii) 3 + πi/3

Exercício 4. Expresse na forma a+ib

a) e1+5π/6ie−1−π/3i
b) e2+πi dividido por e−3+π/6i

Exercício 5. Nos itens abaixo, sabe-se que os limites existem. Calcule-os.

a) lim z→i (4z3 − 5z2 + 4z + 1− 5i)
b) lim z→1−i (5z2 − 2z + 2)/(z + 1)
c) lim z→1+i (z2 − 2z + 2)/(z2 − 2i)

Exercício 6. Mostre que os limites abaixo não existem.

a) lim z→0 z/z̄
b) lim z→1 (x+ y − 1)/(z − 1)

Exercício 7. Use as regras de derivação para determinar as derivadas das funções abaixo.

a) f(z) = 5z4 − iz3 + (8− i)z2 − 6i
b) f(z) = (2z + 1)(z2 − 4z + 8i)
c) f(z) = (2z − 1/z)6
d) f(z) = (3z − 4 + 8i)/(2z + i)

Exercício 8. Determine os pontos nos quais a função indicada não será analítica.

a) f(z) = z/(z − 3i)
b) f(z) = 2i/(z2 − 2z + 5iz)
c) f(z) = (z3 + z)/(z2 + 4)

Exercício 9. Mostre que a função f(z) = z̄ não é diferenciável em nenhum lugar.

Exercício 10. As funções a seguir são analíticas em C. Verifique que elas satisfazem as equações de Cauchy-Riemann em todos os pontos do plano complexo.

a) f(z) = z3
b) f(z) = 3z2 + 5z − 6i