Exercício 9. Mostre que a função f(z) = z̄ não é diferenciável em nenhum lugar.

Para mostrar que a função \( f(z) = \overline{z} \) não é diferenciável em nenhum lugar, podemos usar o conceito de derivada complexa. 1. Definição de Derivada Complexa: A função \( f(z) \) é diferenciável em um ponto \( z_0 \) se o limite a seguir existir: \[ f'(z_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} \] onde \( h \) é um número complexo. 2. Cálculo do Limite: Vamos calcular \( f(z_0 + h) \): \[ f(z_0 + h) = \overline{z_0 + h} = \overline{z_0} + \overline{h} \] Assim, temos: \[ f(z_0 + h) - f(z_0) = \overline{z_0} + \overline{h} - \overline{z_0} = \overline{h} \] 3. Substituindo no Limite: \[ \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} = \frac{\overline{h}}{h} \] 4. Analisando o Limite: O valor de \( \frac{\overline{h}}{h} \) depende da direção de \( h \). Se \( h = re^{i\theta} \) (onde \( r \) é um número real positivo e \( \theta \) é o ângulo), temos: \[ \frac{\overline{h}}{h} = \frac{re^{-i\theta}}{re^{i\theta}} = e^{-2i\theta} \] Esse limite varia conforme \( \theta \) muda, o que significa que o limite não é único. 5. Conclusão: Como o limite não existe (ou seja, não é o mesmo para todas as direções), a função \( f(z) = \overline{z} \) não é diferenciável em nenhum lugar do plano complexo. Portanto, a função \( f(z) = \overline{z} \) não é diferenciável em nenhum ponto.