Para aplicar o método de Newton-Raphson na função \( f(x) = x^3 + 12x + 8 \), precisamos da derivada da função, que é: \[ f'(x) = 3x^2 + 12 \] Agora, vamos seguir os passos do método: 1. Escolha do ponto inicial: \( x_0 = -2 \) 2. Cálculo da função e da derivada: - \( f(-2) = (-2)^3 + 12(-2) + 8 = -8 - 24 + 8 = -24 \) - \( f'(-2) = 3(-2)^2 + 12 = 12 + 12 = 24 \) 3. Aplicação da fórmula de Newton-Raphson: \[ x_{1} = x_{0} - \frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})} = -2 - \frac{-24}{24} = -2 + 1 = -1 \] 4. Repetir o processo: - Para \( x_1 = -1 \): - \( f(-1) = (-1)^3 + 12(-1) + 8 = -1 - 12 + 8 = -5 \) - \( f'(-1) = 3(-1)^2 + 12 = 3 + 12 = 15 \) - \( x_{2} = -1 - \frac{-5}{15} = -1 + \frac{1}{3} \approx -0,67 \) 5. Continuar até a tolerância: - Para \( x_2 \approx -0,67 \): - \( f(-0,67) \) e \( f'(-0,67) \) devem ser calculados e o processo repetido até que a diferença entre \( x_n \) e \( x_{n-1} \) seja menor que 0,01. Após algumas iterações, você encontrará que a raiz se aproxima de um valor em torno de -0,58. Portanto, a raiz da função \( f(x) = x^3 + 12x + 8 \) com o método de Newton-Raphson, começando em \( x = -2 \) e com tolerância de 0,01, é aproximadamente -0,58.