Verificar se a transformação T: ????3 → ????2, T(x,y,z) = (x+y, y+1) é linear. (Valor da questão: 1,0)

Para verificar se a transformação \( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) dada por \( T(x,y,z) = (x+y, y+1) \) é linear, precisamos checar duas propriedades: 1. Aditividade: \( T(u + v) = T(u) + T(v) \) para todos \( u, v \in \mathbb{R}^3 \). 2. Homogeneidade: \( T(cu) = cT(u) \) para todo \( u \in \mathbb{R}^3 \) e \( c \in \mathbb{R} \). Vamos verificar: 1. Aditividade: Se \( u = (x_1, y_1, z_1) \) e \( v = (x_2, y_2, z_2) \), então: \[ T(u + v) = T((x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)) = ((x_1 + x_2) + (y_1 + y_2), (y_1 + y_2) + 1) \] E: \[ T(u) + T(v) = (x_1 + y_1, y_1 + 1) + (x_2 + y_2, y_2 + 1) = (x_1 + y_1 + x_2 + y_2, y_1 + 1 + y_2 + 1) \] Portanto, \( T(u + v) \neq T(u) + T(v) \) (o segundo componente não é igual). 2. Homogeneidade: Para \( c \in \mathbb{R} \) e \( u = (x, y, z) \): \[ T(cu) = T((cx, cy, cz)) = (cx + cy, cy + 1) \] E: \[ cT(u) = c(x + y, y + 1) = (c(x + y), c(y + 1)) \] Portanto, \( T(cu) \neq cT(u) \) (o segundo componente não é igual). Como as duas propriedades não são satisfeitas, a transformação \( T \) não é linear.