Seja a transformação T: ????3 → ????3, T(x,y,z) = (x+y-z, -x+2z, 2x+2y+3z). Provar que é linear. (Valor da questão: 2,0)

Para provar que a transformação \( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) dada por \( T(x,y,z) = (x+y-z, -x+2z, 2x+2y+3z) \) é linear, precisamos verificar duas propriedades: 1. Aditividade: \( T(u + v) = T(u) + T(v) \) para todos \( u, v \in \mathbb{R}^3 \). 2. Homogeneidade: \( T(cu) = cT(u) \) para todo \( u \in \mathbb{R}^3 \) e \( c \in \mathbb{R} \). Vamos considerar \( u = (x_1, y_1, z_1) \) e \( v = (x_2, y_2, z_2) \). 1. Aditividade: Calculamos \( T(u + v) \): \[ u + v = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) \] \[ T(u + v) = T(x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) = ((x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) - (z_1 + z_2), -(x_1 + x_2) + 2(z_1 + z_2), 2(x_1 + x_2) + 2(y_1 + y_2) + 3(z_1 + z_2)) \] Simplificando: \[ = (x_1 + y_1 - z_1 + x_2 + y_2 - z_2, -x_1 + 2z_1 - x_2 + 2z_2, 2x_1 + 2y_1 + 3z_1 + 2x_2 + 2y_2 + 3z_2) \] Agora, calculamos \( T(u) + T(v) \): \[ T(u) = (x_1 + y_1 - z_1, -x_1 + 2z_1, 2x_1 + 2y_1 + 3z_1) \] \[ T(v) = (x_2 + y_2 - z_2, -x_2 + 2z_2, 2x_2 + 2y_2 + 3z_2) \] Somando: \[ T(u) + T(v) = ((x_1 + y_1 - z_1) + (x_2 + y_2 - z_2), (-x_1 + 2z_1) + (-x_2 + 2z_2), (2x_1 + 2y_1 + 3z_1) + (2x_2 + 2y_2 + 3z_2)) \] Simplificando: \[ = (x_1 + y_1 - z_1 + x_2 + y_2 - z_2, -x_1 - x_2 + 2z_1 + 2z_2, 2x_1 + 2y_1 + 3z_1 + 2x_2 + 2y_2 + 3z_2) \] Como \( T(u + v) = T(u) + T(v) \), a propriedade de aditividade é satisfeita. 2. Homogeneidade: Para um escalar \( c \): \[ T(cu) = T(c(x_1, y_1, z_1)) = T(cx_1, cy_1, cz_1) = (cx_1 + cy_1 - cz_1, -cx_1 + 2cz_1, 2cx_1 + 2cy_1 + 3cz_1) \] Agora, calculamos \( cT(u) \): \[ cT(u) = c(x_1 + y_1 - z_1, -x_1 + 2z_1, 2x_1 + 2y_1 + 3z_1) = (c(x_1 + y_1 - z_1), c(-x_1 + 2z_1), c(2x_1 + 2y_1 + 3z_1)) \] Como \( T(cu) = cT(u) \), a propriedade de homogeneidade é satisfeita. Portanto, a transformação \( T \) é linear.