Para determinar \( T(5,3,-2) \) usando a transformação linear \( T \) e a base \( B = \{ \mathbf{b_1}, \mathbf{b_2}, \mathbf{b_3} \} \), precisamos expressar o vetor \( (5,3,-2) \) como uma combinação linear dos vetores da base \( B \). Os vetores da base são: - \( \mathbf{b_1} = (0, 1, 0) \) - \( \mathbf{b_2} = (1, 0, 1) \) - \( \mathbf{b_3} = (1, 1, 0) \) Vamos encontrar os coeficientes \( a_1, a_2, a_3 \) tais que: \[ a_1 \cdot \mathbf{b_1} + a_2 \cdot \mathbf{b_2} + a_3 \cdot \mathbf{b_3} = (5, 3, -2) \] Isso resulta no sistema de equações: 1. \( a_2 + a_3 = 5 \) (para a primeira coordenada) 2. \( a_1 + a_3 = 3 \) (para a segunda coordenada) 3. \( a_2 = -2 \) (para a terceira coordenada) Substituindo \( a_2 = -2 \) na primeira equação: \[ -2 + a_3 = 5 \implies a_3 = 7 \] Agora, substituindo \( a_3 = 7 \) na segunda equação: \[ a_1 + 7 = 3 \implies a_1 = -4 \] Portanto, temos: - \( a_1 = -4 \) - \( a_2 = -2 \) - \( a_3 = 7 \) Agora, aplicamos a transformação \( T \): \[ T(5,3,-2) = a_1 \cdot T(\mathbf{b_1}) + a_2 \cdot T(\mathbf{b_2}) + a_3 \cdot T(\mathbf{b_3}) \] Substituindo os valores: \[ T(5,3,-2) = -4 \cdot (3,0) + (-2) \cdot (0,1) + 7 \cdot (3,2) \] Calculando cada parte: \[ = (-12, 0) + (0, -2) + (21, 14) \] Somando os vetores: \[ = (-12 + 0 + 21, 0 - 2 + 14) = (9, 12) \] Portanto, a resposta é: \[ T(5,3,-2) = (9, 12) \]