Verificar se a transformação T: ????3 → ????2, T(x,y,z) = (x,y) é linear. (Valor da questão: 2,0)

Para verificar se a transformação \( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) dada por \( T(x,y,z) = (x,y) \) é linear, precisamos checar duas propriedades: 1. Aditividade: \( T(u + v) = T(u) + T(v) \) para todos \( u, v \in \mathbb{R}^3 \). 2. Homogeneidade: \( T(cu) = cT(u) \) para todo \( u \in \mathbb{R}^3 \) e \( c \in \mathbb{R} \). Vamos verificar: 1. Aditividade: Se \( u = (x_1, y_1, z_1) \) e \( v = (x_2, y_2, z_2) \), então: \[ T(u + v) = T((x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \] E: \[ T(u) + T(v) = (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \] Portanto, \( T(u + v) = T(u) + T(v) \). 2. Homogeneidade: Se \( u = (x, y, z) \) e \( c \in \mathbb{R} \), então: \[ T(cu) = T((cx, cy, cz)) = (cx, cy) \] E: \[ cT(u) = c(x, y) = (cx, cy) \] Portanto, \( T(cu) = cT(u) \). Como ambas as propriedades são satisfeitas, podemos concluir que a transformação \( T \) é linear.