Para resolver a equação diferencial \( y'' - 10y' + 25y = 0 \), primeiro precisamos encontrar a solução geral da equação característica associada, que é dada por: \[ r^2 - 10r + 25 = 0 \] Fatorando, obtemos: \[ (r - 5)^2 = 0 \] Isso nos dá uma raiz dupla \( r = 5 \). Portanto, a solução geral da equação diferencial é: \[ y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{5t} \] Agora, precisamos usar as condições iniciais \( y(0) = 0 \) e \( y'(0) = 1 \) para determinar as constantes \( C_1 \) e \( C_2 \). 1. Aplicando \( y(0) = 0 \): \[ y(0) = (C_1 + C_2 \cdot 0)e^{0} = C_1 = 0 \] 2. Agora, derivamos \( y(t) \): \[ y'(t) = C_2 e^{5t} + (C_1 + C_2 t) \cdot 5e^{5t} = C_2 e^{5t} + 5(C_1 + C_2 t)e^{5t} \] Substituindo \( C_1 = 0 \): \[ y'(t) = C_2 e^{5t} + 5C_2 t e^{5t} = C_2 e^{5t}(1 + 5t) \] Agora, aplicando \( y'(0) = 1 \): \[ y'(0) = C_2 e^{0}(1 + 5 \cdot 0) = C_2 = 1 \] Portanto, temos \( C_1 = 0 \) e \( C_2 = 1 \). Assim, a solução particular é: \[ y(t) = (0 + 1 \cdot t)e^{5t} = t e^{5t} \] Agora, analisando as alternativas: A) \( y = 3e^{4x} + 2x e^{4x} \) - Não é a solução correta. B) \( y = 5e^{5x} + 3x e^{5x} \) - Não é a solução correta. C) \( y = x e^{3x} \) - Não é a solução correta. D) \( y = x e^{5x} \) - Esta é a solução correta. E) \( y = 2e^{4x} \) - Não é a solução correta. Portanto, a alternativa correta é: D) \( y = x e^{5x} \).