Para resolver a integral \(\int e^{2x} \cos(2x) \, dx\), podemos usar o método de integração por partes ou a fórmula de integração de funções do tipo \(e^{ax} \cos(bx)\). A integral \(\int e^{ax} \cos(bx) \, dx\) tem uma solução que pode ser expressa na forma: \[ \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos(bx) + b \sen(bx)) + C \] No seu caso, temos \(a = 2\) e \(b = 2\). Portanto, a integral se torna: \[ \int e^{2x} \cos(2x) \, dx = \frac{e^{2x}}{2^2 + 2^2} (2 \cos(2x) + 2 \sen(2x)) + C \] Simplificando, temos: \[ \int e^{2x} \cos(2x) \, dx = \frac{e^{2x}}{8} (2 \cos(2x) + 2 \sen(2x)) + C = \frac{1}{4} e^{2x} (\cos(2x) + \sen(2x)) + C \] Agora, analisando as alternativas: A) \( \frac{1}{4} e^{2x} (\cos(2x) - \sen(2x)) + k \) - Incorreta. B) \( \frac{1}{4} e^{2x} (\cos(2x) + \sen(2x)) + k \) - Correta. C) \( \frac{1}{4} e^{2x} (\sen(2x) - \cos(2x)) + k \) - Incorreta. D) \( e^{2x} (2 \cos(2x) + 3 \sen(2x)) + k \) - Incorreta. E) \( \frac{1}{2} e^{2x} (-\cos(2x) - \sen(2x)) + k \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é a B: \( \frac{1}{4} e^{2x} (\cos(2x) + \sen(2x)) + k \).