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Com base no enunciado acima, podemos concluir que a função f : R → R que satisfaz xf(x+ y) = xf(x)− 2xy é uma função afim?

a. Sim, pois fazendo x = h temos que xf(x+ h) = xf(x)− 2xh ⇒ x(f(x+ h)− f(x)) = −2xh ⇒ f(x+ h)− f(x) / h = −2.

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Funções e Propriedades Matemáticas

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Ed

há 2 anos

Para determinar se a função \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) que satisfaz a equação \( xf(x+y) = xf(x) - 2xy \) é uma função afim, vamos analisar a equação dada. 1. Substituição: Vamos fazer \( y = 0 \): \[ xf(x+0) = xf(x) - 2x \cdot 0 \implies xf(x) = xf(x) \] Isso não nos dá nova informação. 2. Substituição: Agora, vamos fazer \( y = h \): \[ xf(x+h) = xf(x) - 2xh \] Rearranjando, temos: \[ xf(x+h) - xf(x) = -2xh \] Dividindo ambos os lados por \( x \) (considerando \( x \neq 0 \)): \[ f(x+h) - f(x) = -2h \] Isso sugere que a variação de \( f \) em relação a \( h \) é constante, o que é uma característica de funções afins. 3. Conclusão: A equação \( f(x+h) - f(x) = -2h \) indica que a função \( f \) é linear, ou seja, pode ser expressa na forma \( f(x) = mx + b \). Portanto, a função é afim. Assim, a resposta é Sim, a função \( f \) é uma função afim.

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Considere a função f dada por f(x) = 2x + a / bx + 2, em que a e b são números reais. a. [2,0] Determine todos os valores de a e b, bem como o domínio e o contradomínio, com os quais f é invertível. b. [1,0] Determine f−1.

Considere a função f de R em R dada por f(x) = x² + x. a. [0,5] Mostre que f não é nem par e nem ímpar. b. [0,5] Considere as funções g e h de R em R dadas por g(x) = (f(x) + f(−x)) / 2 e h(x) = (f(x)− f(−x)) / 2. Verifique que g é par e h é ímpar. Conclua que f(x) = g(x) + h(x). c. [1,0] Agora considere f : R→ R uma função qualquer. Usando as ideias desenvolvidas nos itens anteriores, mostre que existem uma função par P(x) e uma função ímpar I(x) tais que f(x) = P(x) + I(x), para todo x ∈ R, ou seja, podemos sempre escrever f como uma soma de uma função par com uma função ímpar.

Mostre que se f : R→ R é uma função afim, ou seja, f(x) = ax+ b, para todo x real, com a e b reais, então vale que f(x+ h)− f(x) / h é constante.

b. Se f(x) = ax+ b então f(x+ h)− f(x) = a(x+ h) + b− (ax+ b) = ah, ou seja, para todo x e h vale que f(x+ h)− f(x) / h = a (constante).

A tabela a seguir traz alguns valores para uma função f : x 0 10 100 1000 f(x) 9 90 900 9000. Podemos afirmar que f é uma função afim?

c. Não podemos. Observe que f(0 + 10)− f(0) / 10 = 90− 9 / 10 = 8,1 mas f(0 + 100)− f(0) / 100 = 900− 9 / 100 = 891 / 100 = 89,1. Ou seja, f(x+ h)− f(x) / h não é constante.

Fatore o polinômio p(x) e faça um estudo de sinais. Analise a função composta g ◦ p e responda: para quais valores de x temos g(p(x)) > 0, g(p(x)) < 0, e g(p(x)) = 0?

g(p(x)) = 0 se x = 0, x = −3, x = 2 e x = 1;
g(p(x)) = 1 (e portanto > 0) se x ∈ (−3, 0) ∪ (2,+∞);
g(p(x)) = −1 (e portanto < 0) se x ∈ (−∞,−3) ∪ (0, 1) ∪ (1, 2).