Mostre que (In +A)−1 = (In −A)(In +A2).

Para mostrar que \((I_n + A)^{-1} = (I_n - A)(I_n + A^2)\), vamos multiplicar os dois lados da equação e verificar se o resultado é a matriz identidade \(I_n\). 1. Começamos com o lado direito: \[ (I_n - A)(I_n + A^2) \] 2. Usamos a distributiva: \[ = I_n \cdot I_n + I_n \cdot A^2 - A \cdot I_n - A \cdot A^2 \] \[ = I_n + A^2 - A - A^3 \] 3. Agora, reorganizamos os termos: \[ = I_n + (A^2 - A - A^3) \] 4. Para que isso seja igual a \(I_n\), precisamos que \(A^2 - A - A^3 = 0\). Isso é verdade se \(A^2 + A(A - 1) = 0\), que é uma condição que pode ser verificada dependendo da matriz \(A\). 5. Portanto, se a condição for satisfeita, temos: \[ (I_n - A)(I_n + A^2) = I_n \] Assim, concluímos que \((I_n + A)^{-1} = (I_n - A)(I_n + A^2)\) sob a condição mencionada.