Determine o valor da integral \(\int_1^2 (x^2 + 2) \, dx\). A) \(\frac{11}{3}\) B) \(\frac{10}{3}\) C) \(\frac{7}{3}\) D) 3

Para resolver a integral \(\int_1^2 (x^2 + 2) \, dx\), vamos calcular passo a passo. 1. Encontrar a antiderivada: A antiderivada de \(x^2\) é \(\frac{x^3}{3}\) e a antiderivada de \(2\) é \(2x\). Portanto, a antiderivada de \(x^2 + 2\) é: \[ F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x \] 2. Avaliar a integral definida: Agora, precisamos avaliar \(F(x)\) nos limites de 1 a 2: \[ F(2) = \frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2 = \frac{8}{3} + 4 = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{20}{3} \] \[ F(1) = \frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3} \] 3. Subtrair os valores: Agora, subtraímos \(F(1)\) de \(F(2)\): \[ \int_1^2 (x^2 + 2) \, dx = F(2) - F(1) = \frac{20}{3} - \frac{7}{3} = \frac{13}{3} \] Parece que houve um erro na avaliação. Vamos revisar: - \(F(2) = \frac{20}{3}\) - \(F(1) = \frac{7}{3}\) Portanto: \[ \frac{20}{3} - \frac{7}{3} = \frac{13}{3} \] No entanto, essa resposta não está entre as opções. Vamos verificar as opções novamente. Nenhuma das opções corresponde ao resultado correto da integral. Você pode ter que revisar a pergunta ou as opções fornecidas.