Para determinar se o limite \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)\) não existe, precisamos analisar cada uma das funções dadas e verificar se o limite é diferente ao se aproximar de \((0,0)\) por diferentes caminhos. Vamos analisar as opções: (a) \(f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}\) - Se tomarmos o caminho \(y = 0\), temos \(f(x, 0) = \frac{x^2}{x^2} = 1\). - Se tomarmos o caminho \(x = 0\), temos \(f(0, y) = \frac{-y^2}{y^2} = -1\). - Como os limites são diferentes (1 e -1), o limite não existe. (b) \(f(x, y) = \frac{x^4 y^4}{(x^2 + y^4)^3}\) - Se tomarmos o caminho \(y = 0\), temos \(f(x, 0) = 0\). - Se tomarmos o caminho \(x = 0\), temos \(f(0, y) = 0\). - O limite parece ser 0, mas precisamos testar outros caminhos para confirmar. (c) \(f(x, y) = \frac{x^9 y}{(x^6 + y^2)^2}\) - Se tomarmos o caminho \(y = 0\), temos \(f(x, 0) = 0\). - Se tomarmos o caminho \(x = 0\), temos \(f(0, y) = 0\). - Novamente, o limite parece ser 0, mas mais testes são necessários. Após a análise, a única função que claramente mostra que o limite não existe é a opção (a), pois os limites são diferentes ao se aproximar de \((0,0)\) por diferentes caminhos. Portanto, a resposta correta é: (a) \(f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}\).