10. Calcule lim (x,y)→(0,0) f(x, y) : (a) f(x, y) = x2y + xy2/x2 + y2 (b) f(x, y) = x y√ x2 + y2 (c) f(x, y) = sen(x2 + y2)/(x2 + y2)

Para calcular o limite \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y)\) para cada uma das funções dadas, vamos analisar cada uma delas. (a) \(f(x, y) = \frac{x^2y + xy^2}{x^2 + y^2}\) Para \( (x,y) \to (0,0) \), tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0. Podemos usar a substituição polar \(x = r \cos(\theta)\) e \(y = r \sin(\theta)\): \[ f(r \cos(\theta), r \sin(\theta)) = \frac{r^2 \cos^2(\theta) \sin(\theta) + r^2 \cos(\theta) \sin^2(\theta)}{r^2 (\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta))} = \frac{r^2 \cos(\theta) \sin(\theta)(\cos(\theta) + \sin(\theta))}{r^2} = \cos(\theta) \sin(\theta)(\cos(\theta) + \sin(\theta)) \] Como \(r \to 0\), o limite depende de \(\theta\), então o limite não existe. (b) \(f(x, y) = xy \sqrt{x^2 + y^2}\) Novamente, usando coordenadas polares: \[ f(r \cos(\theta), r \sin(\theta)) = r^2 \cos(\theta) \sin(\theta) \cdot r = r^3 \cos(\theta) \sin(\theta) \] Quando \(r \to 0\), \(f \to 0\). Portanto, o limite é 0. (c) \(f(x, y) = \frac{\sin(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}\) Usando a substituição \(u = x^2 + y^2\), quando \((x,y) \to (0,0)\), \(u \to 0\): \[ \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1 \] Portanto, o limite é 1. Resumindo: - Para (a), o limite não existe. - Para (b), o limite é 0. - Para (c), o limite é 1. A resposta correta, considerando que você quer o limite que existe e é mais relevante, é a opção (c): \(f(x, y) = \frac{\sin(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}\) com limite igual a 1.