Grátis: 16. Se u, v são funções diferenciáveis de x e y, então as equações ∂u/∂x = ∂v/∂y e ∂v/∂x = −∂u/∂y são chamadas equações de Cauchy-Riemann...

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16. Se u, v são funções diferenciáveis de x e y, então as equações ∂u/∂x = ∂v/∂y e ∂v/∂x = −∂u/∂y são chamadas equações de Cauchy-Riemann.

(a) Mostre que as equações de Cauchy-Riemann estão satisfeitas se u = 1/2 ln(x2+y2) e v = tg−1(y/x).

(b) Suponha que u, v são funções diferenciáveis de x e y, onde suas derivadas parciais primeira e segunda sejam cont́ınuas. Prove que se u e v satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, então u e v são harmônicas.

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C2 Lista de Exercícios Funções de varias variáveis - limites e derivadas

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A temperatura de T (x, y) graus cent́ıgrados em cada ponto (x, y) de uma chapa constiúída de metal não varia com o tempo. Um besouro atravessando a chapa está em (x, y) = (t2+1, 3t) no instante t. Assim, a temperatura em cada instante é z(t) = T (t2 + 1, 3t). A temperatura tem as propriedades: T (5, 6) = 40, Tx(5, 6) = 4, Ty(5, 6) = −2. Qual a taxa de variação desta temperatura em relação ao tempo no instante t = 2?

A voltagem V em um circuito elétrico simples está decrescendo devagar à medida que a bateria se descarrega. A resistência R está aumentando devagar com o aumento de calor do resistor. Use a Lei de Ohm, V = RI, para achar como a corrente I está variando no momento em que R = 400Ω, I = 0, 08A, dV/dt = −0, 01V/s e dR/dt = 0, 03Ω/s.

Uma função é dita homogênea de grau n se satisfaz a equação f(tx, ty) = tn f(x, y) para todo valor de t, onde n é um inteiro positivo e f tem as segundas derivadas parciais cont́ınuas. (a) Verifique que f(x, y) = x2y + 2xy2 + 5y3 é homogênea de grau 3. (b) Mostre que, se f é homogênea de grau n, então x ∂f/∂x + y ∂f/∂y = n f(x, y)

1. Desenhe os conjuntos abaixo e verifique quais são abertos em R2.

(a) A =
{
(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1
}

(b) B =
{
(x, y) ∈ R2/x = 1 e 1 < y < 3
}
(c) C =
{
(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1 e x+ y > 3
}

(d) D =
{
(x, y) ∈ R2/x+ y > 3 e x2 + y2 < 16
}

2. Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado.

(a) A =
{
(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1
}

(b) A =
{
(x, y) ∈ R2/x, y ∈ Z}

(c) A =
{(
1/n,
1/n ∈ N
}

(d) A =
{
(x, y) ∈ R2/x+ y ≥ 1
}

(e) A =
{
(x, y) ∈ R2/x = 1 e 1 < y < 2
}

(f) A =
{
(x, y) ∈ R2/x, y ∈ Q
}

3. Seja F um subconjunto do R2. Dizemos que F é um conjunto fechado se o complementar de F é aberto. Uma outra maneira de caracterizar um conjunto fechado é verificar se todos os pontos de fronteira estão contidos em F , isto é, ∂ F ⊂ F. Verifique quais dos conjuntos a seguir são fechados.

(a) C =
{
(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1
}

(b) C =
{
(x, y) ∈ R2/x ≥ 0 e y > 0
}

(c) C = φ

(d) C =
{
(x, y) ∈ R2/x = 1 e 1 ≥ y ≥ 3
}

4. Determine a fronteira dos conjuntos dados a seguir.

(a) B =
{
(x, y) ∈ R2/|x| ≤ 1 e |y| ≤ 1
}

(b) A =
{
(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1
}

(c) C = R2

(d) D =
{
(x, y) ∈ R2/x, y ∈ Z
}

6. Encontre o domı́nio de cada uma das funções e represente-o graficamente.

(a) f(x, y) =
√
x+ 2y − 3

(b) f(x, y) = ln(x2 − y − 1)

(c) f(x, y) =
1/x+ y − 3

(d) f(x, y) =
√
x y

(e) f(x, y) =
√
x− y ln(x+ y)

(f) f(x, y) =
√
16− x2 − y2 +
√
x2 + y2 − 4

7. Esboce o gráfico das regiões abaixo:

(a) z = 3

(b) 6x+ 3y − 4z = 12

(c) 4x2 + 9y2 + z2 = 36

(d) 4x2 + 9y2 − z2 = 36

(e) x2 = y2 − z2

(f)
x2/36 + z2/25 = 4y

(g)
x2/36 − z2/25 = 9y

(h) 4x2 − y2 + 2z2 + 4 = 0

(i) y2 + 4z2 = 4

(j) z = x2

(k) z =
√
1− x2

(l) z = 1/x2 + y2

8. Calcule o limite dado:

(a) lim
(x,y)→(2,3)
(3x2 + xy − 2y2)

(b) lim
(x,y)→(2,−1)
3x− 2y/x+ 4y

(c) lim
(x,y)→(0,1)
x4 − (y − 1)4/x2 + (y − 1)2

(d) lim
(x,y)→(ln 3,ln 2)
ex−y

(e) lim
(x,y)→(2,2)
tg−1 y/x

(f) lim
(x,y)→(4,2)
√
1/3x− 4y

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1. Desenhe os conjuntos abaixo e verifique quais são abertos em R2.(a) A ={(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1}(b) B ={(x, y) ∈ R2/x = 1 e 1 < y < 3}(c) C ={(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1 e x+ y > 3}(d) D ={(x, y) ∈ R2/x+ y > 3 e x2 + y2 < 16}

2. Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado.(a) A ={(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1}(b) A ={(x, y) ∈ R2/x, y ∈ Z}(c) A ={(1/n,1/n ∈ N}(d) A ={(x, y) ∈ R2/x+ y ≥ 1}(e) A ={(x, y) ∈ R2/x = 1 e 1 < y < 2}(f) A ={(x, y) ∈ R2/x, y ∈ Q}

4. Determine a fronteira dos conjuntos dados a seguir.(a) B ={(x, y) ∈ R2/|x| ≤ 1 e |y| ≤ 1}(b) A ={(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1}(c) C = R2(d) D ={(x, y) ∈ R2/x, y ∈ Z}

6. Encontre o domı́nio de cada uma das funções e represente-o graficamente.(a) f(x, y) =√x+ 2y − 3(b) f(x, y) = ln(x2 − y − 1)(c) f(x, y) =1/x+ y − 3(d) f(x, y) =√x y(e) f(x, y) =√x− y ln(x+ y)(f) f(x, y) =√16− x2 − y2 +√x2 + y2 − 4

7. Esboce o gráfico das regiões abaixo:(a) z = 3(b) 6x+ 3y − 4z = 12(c) 4x2 + 9y2 + z2 = 36(d) 4x2 + 9y2 − z2 = 36(e) x2 = y2 − z2(f)x2/36 + z2/25 = 4y(g)x2/36 − z2/25 = 9y(h) 4x2 − y2 + 2z2 + 4 = 0(i) y2 + 4z2 = 4(j) z = x2(k) z =√1− x2(l) z = 1/x2 + y2

8. Calcule o limite dado:(a) lim(x,y)→(2,3)(3x2 + xy − 2y2)(b) lim(x,y)→(2,−1)3x− 2y/x+ 4y(c) lim(x,y)→(0,1)x4 − (y − 1)4/x2 + (y − 1)2(d) lim(x,y)→(ln 3,ln 2)ex−y(e) lim(x,y)→(2,2)tg−1 y/x(f) lim(x,y)→(4,2)√1/3x− 4y

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1. Desenhe os conjuntos abaixo e verifique quais são abertos em R2.

(a) A =
{
(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1
}

(b) B =
{
(x, y) ∈ R2/x = 1 e 1 < y < 3
}
(c) C =
{
(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1 e x+ y > 3
}

(d) D =
{
(x, y) ∈ R2/x+ y > 3 e x2 + y2 < 16
}

2. Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado.

(a) A =
{
(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1
}

(b) A =
{
(x, y) ∈ R2/x, y ∈ Z}

(c) A =
{(
1/n,
1/n ∈ N
}

(d) A =
{
(x, y) ∈ R2/x+ y ≥ 1
}

(e) A =
{
(x, y) ∈ R2/x = 1 e 1 < y < 2
}

(f) A =
{
(x, y) ∈ R2/x, y ∈ Q
}

4. Determine a fronteira dos conjuntos dados a seguir.

(a) B =
{
(x, y) ∈ R2/|x| ≤ 1 e |y| ≤ 1
}

(b) A =
{
(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1
}

(c) C = R2

(d) D =
{
(x, y) ∈ R2/x, y ∈ Z
}

6. Encontre o domı́nio de cada uma das funções e represente-o graficamente.

(a) f(x, y) =
√
x+ 2y − 3

(b) f(x, y) = ln(x2 − y − 1)

(c) f(x, y) =
1/x+ y − 3

(d) f(x, y) =
√
x y

(e) f(x, y) =
√
x− y ln(x+ y)

(f) f(x, y) =
√
16− x2 − y2 +
√
x2 + y2 − 4

8. Calcule o limite dado:

(a) lim
(x,y)→(2,3)
(3x2 + xy − 2y2)

(b) lim
(x,y)→(2,−1)
3x− 2y/x+ 4y

(c) lim
(x,y)→(0,1)
x4 − (y − 1)4/x2 + (y − 1)2

(d) lim
(x,y)→(ln 3,ln 2)
ex−y

(e) lim
(x,y)→(2,2)
tg−1 y/x

(f) lim
(x,y)→(4,2)
√
1/3x− 4y