Para analisar a série infinita \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}\) quanto à sua convergência, podemos aplicar o critério da integral. 1. Definição da função: Considere a função \(f(x) = \frac{1}{x^4}\) para \(x \geq 1\). Essa função é contínua, positiva e decrescente. 2. Integral a ser avaliada: Precisamos calcular a integral \(\int_{1}^{\infty} f(x) \, dx\): \[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^4} \, dx \] 3. Cálculo da integral: \[ \int \frac{1}{x^4} \, dx = -\frac{1}{3x^3} + C \] Avaliando a integral definida: \[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^4} \, dx = \lim_{b \to \infty} \left[-\frac{1}{3x^3}\right]_{1}^{b} = \lim_{b \to \infty} \left(-\frac{1}{3b^3} + \frac{1}{3}\right) = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \] 4. Conclusão: Como a integral \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^4} \, dx\) converge (resulta em um valor finito), pelo critério da integral, a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}\) também converge. Portanto, a série dada é convergente.