Se v ·w1 = 0 e v ·w2 = 0, mostre que v é ortogonal a qualquer combinação linear dos vetores w1 e w2.

Para mostrar que o vetor \( v \) é ortogonal a qualquer combinação linear dos vetores \( w_1 \) e \( w_2 \), vamos considerar uma combinação linear genérica desses vetores, que pode ser escrita como: \[ w = a w_1 + b w_2 \] onde \( a \) e \( b \) são escalares. Agora, precisamos calcular o produto escalar de \( v \) com \( w \): \[ v \cdot w = v \cdot (a w_1 + b w_2) \] Usando a propriedade distributiva do produto escalar, temos: \[ v \cdot w = a (v \cdot w_1) + b (v \cdot w_2) \] Dado que \( v \cdot w_1 = 0 \) e \( v \cdot w_2 = 0 \), podemos substituir esses valores na equação: \[ v \cdot w = a \cdot 0 + b \cdot 0 = 0 \] Portanto, \( v \cdot w = 0 \), o que significa que \( v \) é ortogonal a \( w \). Assim, concluímos que \( v \) é ortogonal a qualquer combinação linear dos vetores \( w_1 \) e \( w_2 \).