Para encontrar as equações paramétricas da trajetória de uma partícula que se move ao longo do círculo definido pela equação \(x² + (y - 1)² = 4\), precisamos entender algumas características do círculo. 1. Centro e Raio: A equação do círculo pode ser reescrita como \((x - 0)² + (y - 1)² = 2²\). Portanto, o centro do círculo é \((0, 1)\) e o raio é \(2\). 2. Ponto Inicial: A partícula começa em \((2, 1)\), que está no círculo. 3. Movimento: O movimento é no sentido anti-horário e a partícula faz três voltas completas. Uma volta completa corresponde a \(2\pi\) radianos, então três voltas correspondem a \(6\pi\) radianos. 4. Equações Paramétricas: As equações paramétricas para um círculo são geralmente dadas por: - \(x = r \cos(t) + h\) - \(y = r \sin(t) + k\) onde \((h, k)\) é o centro do círculo e \(r\) é o raio. Para o nosso círculo: - \(x = 2 \cos(t) + 0\) - \(y = 2 \sin(t) + 1\) No entanto, precisamos ajustar isso para que a partícula comece em \((2, 1)\) e se mova no sentido anti-horário. Assim, a equação correta para \(y\) deve ser: - \(y = 1 - 2 \sin(t)\) (porque queremos que a partícula suba quando \(t\) aumenta). 5. Intervalo de \(t\): Como a partícula faz três voltas, o intervalo de \(t\) deve ser de \(0\) a \(6\pi\). Agora, analisando as alternativas: A) \(X = 2 \cos(t), y = 1 - \sin(t), 0 ≤ t ≤ 3\pi\) B) \(X = 2 \cos(t), y = 1 + 2 \sin(t), 0 ≤ t ≤ 3\pi\) C) \(X = 2 \cos(t), y = 1 - \sin(t), 0 ≤ t ≤ 2\pi\) D) \(X = 2 \cos(t), y = 2 - \sin(t), 0 ≤ t ≤ 2\pi\) E) \(X = 2 \cos(t), y = 2 + \sin(t), 0 ≤ t ≤ 2\pi\) A única opção que se aproxima da forma correta e que também considera o movimento no sentido anti-horário, começando em \((2, 1)\) e cobrindo o intervalo correto é a opção A, mas com um erro no intervalo. Portanto, a resposta correta é: A) \(X = 2 \cos(t), y = 1 - \sin(t), 0 ≤ t ≤ 3\pi\).