Para encontrar o cosseno do ângulo entre os vetores \( \mathbf{u} = (3, 3, 3) \) e \( \mathbf{v} = (1, 0, 4) \), utilizamos a fórmula do produto escalar: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = ||\mathbf{u}|| \cdot ||\mathbf{v}|| \cdot \cos(\theta) \] 1. Calculando o produto escalar \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \): \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 3 \cdot 4 = 3 + 0 + 12 = 15 \] 2. Calculando as normas \( ||\mathbf{u}|| \) e \( ||\mathbf{v}|| \): \[ ||\mathbf{u}|| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \] \[ ||\mathbf{v}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 0 + 16} = \sqrt{17} \] 3. Substituindo na fórmula do produto escalar: \[ 15 = (3\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{17}) \cdot \cos(\theta) \] 4. Isolando \( \cos(\theta) \): \[ \cos(\theta) = \frac{15}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{17}} = \frac{15}{3\sqrt{51}} = \frac{5}{\sqrt{51}} \] Portanto, a alternativa correta que apresenta o cosseno do ângulo entre os vetores \( \mathbf{u} \) e \( \mathbf{v} \) é: D) \( \cos(\theta) = \frac{5}{\sqrt{51}} \).