Calcule a área compreendida entre o eixo x e a função y = cos(x) + 1 para −π < x < π. a. 2π b. 1 c. 0 d. π/2 e. sen(π/4)

Para calcular a área compreendida entre o eixo x e a função \( y = \cos(x) + 1 \) no intervalo \( -\pi < x < \pi \), precisamos integrar a função nesse intervalo. A função \( y = \cos(x) + 1 \) é sempre positiva nesse intervalo, pois \( \cos(x) \) varia de -1 a 1, então \( \cos(x) + 1 \) varia de 0 a 2. A área \( A \) pode ser calculada pela integral definida: \[ A = \int_{-\pi}^{\pi} (\cos(x) + 1) \, dx \] Calculando a integral: \[ A = \int_{-\pi}^{\pi} \cos(x) \, dx + \int_{-\pi}^{\pi} 1 \, dx \] A integral de \( \cos(x) \) de \( -\pi \) a \( \pi \) é zero, pois a função é simétrica e a área positiva se cancela com a área negativa. A integral de 1 de \( -\pi \) a \( \pi \) é: \[ \int_{-\pi}^{\pi} 1 \, dx = [x]_{-\pi}^{\pi} = \pi - (-\pi) = 2\pi \] Portanto, a área total é: \[ A = 0 + 2\pi = 2\pi \] Assim, a resposta correta é: a) 2π.