Calcule a derivada da função vetorial: f ( t ) = ( 2 t ² − 3 ) i + ( t ² + 5 ) j + ( 3 t ) k , no ponto t = 2 .

Para calcular a derivada da função vetorial \( f(t) = (2t^2 - 3) \mathbf{i} + (t^2 + 5) \mathbf{j} + (3t) \mathbf{k} \), vamos derivar cada componente em relação a \( t \). 1. Derivada da componente \( (2t^2 - 3) \): \[ \frac{d}{dt}(2t^2 - 3) = 4t \] 2. Derivada da componente \( (t^2 + 5) \): \[ \frac{d}{dt}(t^2 + 5) = 2t \] 3. Derivada da componente \( (3t) \): \[ \frac{d}{dt}(3t) = 3 \] Assim, a derivada da função vetorial \( f'(t) \) é: \[ f'(t) = (4t) \mathbf{i} + (2t) \mathbf{j} + (3) \mathbf{k} \] Agora, vamos calcular \( f'(2) \): \[ f'(2) = (4 \cdot 2) \mathbf{i} + (2 \cdot 2) \mathbf{j} + (3) \mathbf{k} \] \[ f'(2) = 8 \mathbf{i} + 4 \mathbf{j} + 3 \mathbf{k} \] Portanto, a derivada da função vetorial no ponto \( t = 2 \) é: \[ f'(2) = 8 \mathbf{i} + 4 \mathbf{j} + 3 \mathbf{k} \]