Para calcular o volume \( V \) do sólido acima da região retangular \( R = [0,2] \times [1,2] \) e abaixo da superfície \( f(x,y) = x + 3y^2 \), utilizamos a expressão: \[ V = \iint_R f(x,y) \, dA \] Neste caso, a integral dupla se torna: \[ V = \int_{1}^{2} \int_{0}^{2} (x + 3y^2) \, dx \, dy \] Vamos calcular essa integral passo a passo. 1. Calcular a integral interna em relação a \( x \): \[ \int_{0}^{2} (x + 3y^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 3y^2 x \right]_{0}^{2} = \left( \frac{2^2}{2} + 3y^2 \cdot 2 \right) - \left( 0 \right) = 2 + 6y^2 \] 2. Agora, calcular a integral externa em relação a \( y \): \[ V = \int_{1}^{2} (2 + 6y^2) \, dy = \left[ 2y + 2y^3 \right]_{1}^{2} \] Calculando os limites: \[ = \left( 2(2) + 2(2^3) \right) - \left( 2(1) + 2(1^3) \right) = (4 + 16) - (2 + 2) = 20 - 4 = 16 \] Portanto, o volume \( V \) do sólido é: \[ \boxed{16} \]