Mostre que o coeficiente angular de qualquer reta tangente à curva y = 1/(1 − 2x)³ é sempre positivo.

Para mostrar que o coeficiente angular de qualquer reta tangente à curva \( y = \frac{1}{(1 - 2x)^3} \) é sempre positivo, precisamos calcular a derivada da função. 1. Encontrar a derivada: Usamos a regra da cadeia e a regra do quociente. A função pode ser reescrita como \( y = (1 - 2x)^{-3} \). A derivada \( y' \) é dada por: \[ y' = -3(1 - 2x)^{-4} \cdot (-2) = \frac{6}{(1 - 2x)^4} \] 2. Analisar o sinal da derivada: O termo \( (1 - 2x)^4 \) é sempre positivo para qualquer \( x \) que não torne o denominador zero (ou seja, \( x \neq \frac{1}{2} \)). Portanto, \( y' \) é sempre positivo para \( x < \frac{1}{2} \) e \( x > \frac{1}{2} \). 3. Conclusão: Como a derivada \( y' \) é sempre positiva, isso significa que o coeficiente angular da reta tangente à curva \( y = \frac{1}{(1 - 2x)^3} \) é sempre positivo, exceto no ponto onde a função não está definida (em \( x = \frac{1}{2} \)). Assim, podemos concluir que o coeficiente angular de qualquer reta tangente à curva é sempre positivo para \( x \) em seu domínio.