Para calcular a integral de linha da forma diferencial \((x^2)y \, dx + z \, dy + xy \, dz\) ao longo do arco da parábola \(y = x^2\) e \(z = 1\) do ponto \(A(-1, 1, 1)\) ao ponto \(B(1, 1, 1)\), siga os passos abaixo: 1. Parametrização da curva: Como \(y = x^2\) e \(z = 1\), podemos parametrizar a curva usando \(x\) como parâmetro: \[ \mathbf{r}(t) = (t, t^2, 1), \quad t \in [-1, 1] \] 2. Cálculo dos diferenciais: - \(dx = dt\) - \(dy = 2t \, dt\) - \(dz = 0\) 3. Substituição na forma diferencial: Substituindo na forma diferencial: \[ (x^2)y \, dx + z \, dy + xy \, dz = (t^2)(t^2) \, dt + 1 \cdot (2t \, dt) + (t)(t^2) \cdot 0 \] Isso simplifica para: \[ t^4 \, dt + 2t \, dt = (t^4 + 2t) \, dt \] 4. Integral de linha: Agora, integramos de \(-1\) a \(1\): \[ \int_{-1}^{1} (t^4 + 2t) \, dt \] Separando a integral: \[ \int_{-1}^{1} t^4 \, dt + \int_{-1}^{1} 2t \, dt \] A primeira integral: \[ \int_{-1}^{1} t^4 \, dt = \left[ \frac{t^5}{5} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{5} - \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{2}{5} \] A segunda integral: \[ \int_{-1}^{1} 2t \, dt = \left[ t^2 \right]_{-1}^{1} = 1 - 1 = 0 \] 5. Resultado final: Portanto, a integral de linha é: \[ \frac{2}{5} + 0 = \frac{2}{5} \] Assim, o valor da integral de linha é \(\frac{2}{5}\).