Para mostrar que \( W = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = |x|\} \) não é um subespaço vetorial de \( V = \mathbb{R}^2 \), precisamos verificar se \( W \) satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço: 1. Contém o vetor nulo: O vetor nulo em \( \mathbb{R}^2 \) é \( (0,0) \). Para \( (0,0) \) temos \( y = |0| = 0 \), então \( (0,0) \in W \). 2. Fechamento sob adição: Precisamos verificar se a soma de dois vetores em \( W \) também está em \( W \). Considere dois vetores \( u = (x_1, |x_1|) \) e \( v = (x_2, |x_2|) \) em \( W \). A soma é: \[ u + v = (x_1 + x_2, |x_1| + |x_2|). \] Para que \( u + v \) esteja em \( W \), precisamos que \( |x_1 + x_2| = |x_1| + |x_2| \). Isso só é verdade se \( x_1 \) e \( x_2 \) tiverem o mesmo sinal. Portanto, \( W \) não é fechado sob adição, pois se \( x_1 = 1 \) e \( x_2 = -1 \), temos: \[ u + v = (1 - 1, |1| + |-1|) = (0, 2), \] e \( 2 \neq |0| \). 3. Fechamento sob multiplicação escalar: Considere um vetor \( u = (x, |x|) \in W \) e um escalar \( c \in \mathbb{R} \). A multiplicação escalar é: \[ c \cdot u = (c \cdot x, c \cdot |x|). \] Para que \( c \cdot u \) esteja em \( W \), precisamos que \( c \cdot |x| = |c \cdot x| \). Isso não é verdade se \( c < 0 \) e \( x \neq 0 \), pois \( |c \cdot x| = -c \cdot x \) e \( c \cdot |x| = -c \cdot |x| \). Como \( W \) não é fechado sob adição e multiplicação escalar, concluímos que \( W \) não é um subespaço vetorial de \( V \).