MAPA MENTAL Slides de Aula I

Prévia do material em texto

Um conjunto não vazio de vetores um espaço vetorial sobre Rse, somente se, estiver definida a soma entre quaisquer vetores (u, v) E V, com as propriedades comutativa e existência de elemento neutro (0) oposto (-u) para cada A multiplicação de qualquer vetor u e por qualquer escalar a R deve satisfazer propriedades específicas, Definição de Espaço Vetorial incluindo distributividade a existência do elemento neutro (1). Tanto soma quanto a multiplicação devem resultar em vetores pertencentes Um conjunto de vetores S é linearmente o conjunto dos números reais (R) forma independente se única combinação um espaço vetorial. linear dos vetores de S que resulta no vetor nulo combinação linear trivial (todos os escalares iguais a zero). o conjunto dos pares ordenados que formam plano também é um espaço Dependência e Independência Linear vetorial. Caso contrário, conjunto é linearmente dependente. De forma análoga, conjunto de n-uplas ordenadas forma um espaço Uma base de um espaço vetorial um Exemplos de Espaços Vetoriais conjunto de vetores linearmente independentes que geram V. Base de um Espaço Vetorial o espaço vetorial de matrizes Mmxn(R) Base e Dimensão Espaços Vetoriais com as operações de multiplicação por escalar definidas. A dimensão de um espaço vetorial V finitamente gerado é número de vetores em qualquer uma de suas bases. Dimensão de um Espaço Vetorial o espaço de polinômios de grau menor ou igual incluindo o conjunto U (0,1, 0), (0, é polinômio também forma um espaço vetorial. uma base do espaço vetorial sua dimensão 3. Exemplo de Base Dimensão o conjunto e R} não um espaço pois a soma de dois Exemplo de Conjunto que Não é Espaço vetores de não resulta em um vetor Vetorial pertencente V. Seja U um subconjunto de um espaço vetorial V. Uma combinação linear de U qualquer vetor da forma a 0 0 para todo a e R. onde são PDF u 0 0 para todo u E V. subespaço gerado por U. denotado por de Combinação Linear [U], conjunto de todas as combinações a 0 se, e somente se, a= 0 ou lineares de U. Propriedades de Espaços Vetoriais Combinação Linear vetor u (4, 3) pode ser escrito como combinação linear dos vetores Álgebra Linear: (0,1) da seguinte forma: u 4v 3w. Exemplo de Combinação Linear Espaços Dados U subespaços vetoriais de V. a Vetoriais, soma U definida como conjunto de todos os vetores da forma u w, onde Subespaços e Um subconjunto S de um espaço vetorial u um subespaço vetorial de se S Definição de Vetorial também for um espaço vetorial. Se U são subespaços vetoriais de V. Soma de Vetoriais Bases então U também é um subespaço Um subconjunto W de V um subespaço vetorial vetorial de V se e somente vetor nulo pertencer a W, soma de quaisquer dois vetores de resultar em um vetor Dados U subespaços vetoriais de a intersecção U conjunto de todos de multiplicação de qualquer vetor Teorema para Demonstrar Subespaço de por um escalar resultar em um os vetores que pertencem a ambos U W. Operações com Subespaços Vetorial vetor de W. Intersecção de Vetoriais Vetoriais Se U e são vetoriais de Subespaços Vetoriais então U também é um subespaço {(0 0) e é um subespaço vetorial de V. vetorial de Sejam U subespaços vetoriais de V. W {(x 1) E não é um subespaço Dizemos que V soma direta de U vetorial de (V =U+ se, somente se, U {0} e U Soma Direta de Subespaços Vetoriais Areta W {y 2x é um subespaço vetorial de R2. Exemplos de Vetoriais e Não- Subespaços a) e não é um subespaço vetorial de M2(R). {(x, é um subespaço vetorial de W {(a 0) é um subespaço vetorial de M2(R).