Questão: Qual é a derivada da função f(x) = ln(x^2 + 1)? a) 2x ln(x^2 + 1) b) \frac{2x}{x^2 + 1} c) \frac{2x}{2x^2 + 2} d) \frac{2x}{x^2 + 1}

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \), vamos usar a regra da cadeia. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot u' \), onde \( u = x^2 + 1 \). 1. Primeiro, derivamos \( u = x^2 + 1 \): \[ u' = 2x \] 2. Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( 2x \ln(x^2 + 1) \) - Incorreta, pois não é a forma da derivada. b) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) - Correta, esta é a derivada que encontramos. c) \( \frac{2x}{2x^2 + 2} \) - Incorreta, pois pode ser simplificada para \( \frac{x}{x^2 + 1} \), que não é a derivada correta. d) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) - Esta é a mesma que a alternativa (b), portanto, também é correta. Assim, as alternativas corretas são b) e d). Se você precisa de uma única resposta, a melhor escolha é b) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \).