Qual é o valor da integral definida da função f(x) = 2x^2 + 3x + 1 no intervalo [0, 2]? a) 9 b) 10 c) 11 d) 12

Para calcular a integral definida da função \( f(x) = 2x^2 + 3x + 1 \) no intervalo \([0, 2]\), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a antiderivada de \( f(x) \): \[ F(x) = \int (2x^2 + 3x + 1) \, dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x + C \] 2. Calcular a integral definida de \( F(x) \) no intervalo \([0, 2]\): \[ \int_0^2 (2x^2 + 3x + 1) \, dx = F(2) - F(0) \] 3. Calcular \( F(2) \): \[ F(2) = \frac{2}{3}(2^3) + \frac{3}{2}(2^2) + 2 = \frac{2}{3}(8) + \frac{3}{2}(4) + 2 = \frac{16}{3} + 6 + 2 = \frac{16}{3} + \frac{18}{3} + \frac{6}{3} = \frac{40}{3} \] 4. Calcular \( F(0) \): \[ F(0) = 0 \] 5. Substituir na fórmula: \[ \int_0^2 (2x^2 + 3x + 1) \, dx = F(2) - F(0) = \frac{40}{3} - 0 = \frac{40}{3} \] Agora, precisamos converter \( \frac{40}{3} \) para um número decimal ou inteiro para comparar com as alternativas. \[ \frac{40}{3} \approx 13.33 \] Nenhuma das alternativas (9, 10, 11, 12) corresponde ao resultado da integral. Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas ou no cálculo. Se precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!