Questão: Qual é o valor aproximado da integral definitiva ∫_0^1 (x^3 + 2x + 1) dx? a) 1,75 b) 1,50 c) 1,25 d) 1,00

Para calcular a integral definida \(\int_0^1 (x^3 + 2x + 1) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(f(x) = x^3 + 2x + 1\). 1. A antiderivada de \(x^3\) é \(\frac{x^4}{4}\). 2. A antiderivada de \(2x\) é \(x^2\). 3. A antiderivada de \(1\) é \(x\). Portanto, a antiderivada de \(f(x)\) é: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} + x^2 + x \] Agora, vamos calcular a integral definida de \(0\) a \(1\): \[ \int_0^1 (x^3 + 2x + 1) \, dx = F(1) - F(0) \] Calculando \(F(1)\): \[ F(1) = \frac{1^4}{4} + 1^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 + 1 = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} + \frac{4}{4} = \frac{9}{4} = 2,25 \] Calculando \(F(0)\): \[ F(0) = \frac{0^4}{4} + 0^2 + 0 = 0 \] Portanto: \[ \int_0^1 (x^3 + 2x + 1) \, dx = 2,25 - 0 = 2,25 \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado correto. Você pode ter cometido um erro na formulação da pergunta ou nas opções. Se precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!