Qual é o valor da integral definida de f(x) = 2x^3 + 4x^2 + 3x + 1, de 0 a 2? a) 25 b) 29 c) 33 d) 37

Para calcular a integral definida da função \( f(x) = 2x^3 + 4x^2 + 3x + 1 \) de 0 a 2, precisamos primeiro encontrar a antiderivada de \( f(x) \). 1. Encontrar a antiderivada: \[ F(x) = \int (2x^3 + 4x^2 + 3x + 1) \, dx = \frac{2}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x + C \] Simplificando, temos: \[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x \] 2. Calcular a integral definida de 0 a 2: \[ \int_0^2 (2x^3 + 4x^2 + 3x + 1) \, dx = F(2) - F(0) \] Calculando \( F(2) \): \[ F(2) = \frac{1}{2}(2^4) + \frac{4}{3}(2^3) + \frac{3}{2}(2^2) + 2 \] \[ = \frac{1}{2}(16) + \frac{4}{3}(8) + \frac{3}{2}(4) + 2 \] \[ = 8 + \frac{32}{3} + 6 + 2 \] \[ = 16 + \frac{32}{3} = \frac{48}{3} + \frac{32}{3} = \frac{80}{3} \] Agora, calculando \( F(0) \): \[ F(0) = 0 \] 3. Resultado da integral: \[ \int_0^2 (2x^3 + 4x^2 + 3x + 1) \, dx = F(2) - F(0) = \frac{80}{3} - 0 = \frac{80}{3} \approx 26.67 \] Nenhuma das alternativas corresponde exatamente ao resultado, mas a mais próxima é a) 25. Portanto, a resposta correta é a) 25.