Para encontrar a derivada da função \( f(x) = e^x \cdot \ln(x) \), vamos usar a regra do produto, que diz que se temos duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \), a derivada do produto é dada por: \[ (fg)' = f'g + fg' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = e^x \) e \( v(x) = \ln(x) \) Calculando as derivadas: - \( u'(x) = e^x \) - \( v'(x) = \frac{1}{x} \) Agora aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \] \[ f'(x) = e^x \cdot \ln(x) + e^x \cdot \frac{1}{x} \] \[ f'(x) = e^x \cdot \ln(x) + \frac{e^x}{x} \] Agora, analisando as alternativas: a) \( e^x + \frac{1}{x} \) - Incorreta. b) \( e^x - \frac{1}{x} \) - Incorreta. c) \( e^x \cdot \ln(x) + \frac{1}{x} \) - Incorreta, pois falta o \( e^x \) na fração. d) \( e^x \cdot \ln(x) - \frac{1}{x} \) - Incorreta. Nenhuma das alternativas apresentadas está correta. A derivada correta é \( e^x \cdot \ln(x) + \frac{e^x}{x} \). Você pode verificar se há um erro nas opções fornecidas.