Qual é o valor da integral definida de 0 a pi do seno ao quadrado de x em relação a x? a) pi/2 b) pi c) pi/4 d) 2pi

Para calcular a integral definida de \(0\) a \(\pi\) do seno ao quadrado de \(x\), podemos usar a identidade trigonométrica: \[ \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \] Assim, a integral se torna: \[ \int_0^{\pi} \sin^2(x) \, dx = \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx \] Agora, podemos separar a integral: \[ = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} 1 \, dx - \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \cos(2x) \, dx \] Calculando a primeira parte: \[ \frac{1}{2} \int_0^{\pi} 1 \, dx = \frac{1}{2} [x]_0^{\pi} = \frac{1}{2} (\pi - 0) = \frac{\pi}{2} \] Agora, a segunda parte: \[ \int_0^{\pi} \cos(2x) \, dx = \left[ \frac{\sin(2x)}{2} \right]_0^{\pi} = \frac{\sin(2\pi)}{2} - \frac{\sin(0)}{2} = 0 \] Portanto, a integral total é: \[ \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} \] Assim, a resposta correta é a) \(\frac{\pi}{2}\).