Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \sqrt{3x^4 + 2x} \), vamos usar a regra da cadeia. 1. Identifique a função externa e a interna: - Função externa: \( u = \sqrt{v} \) onde \( v = 3x^4 + 2x \). - A derivada da função externa \( u \) em relação a \( v \) é \( \frac{du}{dv} = \frac{1}{2\sqrt{v}} \). 2. Calcule a derivada da função interna: - \( v = 3x^4 + 2x \) - A derivada de \( v \) em relação a \( x \) é \( \frac{dv}{dx} = 12x^3 + 2 \). 3. Aplique a regra da cadeia: - A derivada de \( f(x) \) em relação a \( x \) é: \[ \frac{df}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{3x^4 + 2x}} \cdot (12x^3 + 2) \] 4. Simplifique: - Isso resulta em: \[ \frac{df}{dx} = \frac{12x^3 + 2}{2\sqrt{3x^4 + 2x}} = \frac{6x^3 + 1}{\sqrt{3x^4 + 2x}} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \(2x^2 + \frac{1}{\sqrt{3x^4 + 2x}}\) - Não é a resposta correta. b) \(4x^3 + \frac{2}{\sqrt{3x^4 + 2x}}\) - Não é a resposta correta. c) \(2x^3 + \frac{1}{\sqrt{3x^4 + 2x}}\) - Não é a resposta correta. d) \(6x^3 + \frac{1}{\sqrt{3x^4 + 2x}}\) - Esta opção está incorreta, pois a derivada correta é dividida por \( \sqrt{3x^4 + 2x} \). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à derivada correta que encontramos. Portanto, você pode precisar revisar as opções ou verificar se há um erro nas alternativas fornecidas.